確率変数の1次変換かくりつへんすうのいちじへんかん

確率かくりつ変数へんすうの1次じ変換へんかんとは、確率変数かくりつへんすう $X$ を $Y=aX+b$（$a,b$ は定数ていすう）の形かたちに変かえることです。期待きたい値ち・分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんいは次つぎのように変化へんかします。

量りょう	変換へんかん後ご
期待きたい値ち	$E\left(Y\right)=aE\left(X\right)+b$
分散ぶんさん	$V\left(Y\right)=a^{2}V\left(X\right)$
標準ひょうじゅん偏差へんい	$\sigma \left(Y\right)=\mid a\mid \hspace{0.17em}\sigma \left(X\right)$

平行へいこう移動いどう（$+b$）は散ちらばりを変かえないので分散ぶんさんはそのまま、拡大かくだい・縮小しゅくしょう（$\times a$）は分散ぶんさんを $a^2$倍にします。たとえばサイコロの目$X$（$E\left(X\right)=3.5$）に対たいし $Y=2X-1$ なら $E\left(Y\right)=6$ です。この性質せいしつは標準化ひょうじゅんか $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ や偏差値へんさちの計算けいさんの土台どだいになります。

ポイント 「$+b$ は分散ぶんさんに効きかない、$\times a$ は分散ぶんさんを $a^2$倍」が決きめ手て。標準ひょうじゅん偏差へんいでは $\mid a\mid$倍（絶対ぜったい値ち）になる点てんに注意ちゅうい。標準ひょうじゅん化かはこの変換へんかんで平均へいきん$0$・標準ひょうじゅん偏差へんい$1$ にそろえる操作そうさ。