逆元ぎゃくげん

逆元ぎゃくげん（合同式ごうどうしきの逆元ぎゃくげん）とは、法$m$ のもとで、ある数$a$ に掛かけると $1$ になる数$b$、すなわち $ab\equiv 1\left(modm\right)$ を満みたす $b$ のことで、$a^{-1}$ と書かきます。$a$ と $m$ が互いに素たがいにそなときに限かぎり存在そんざいします。

合同ごうどう式しき	逆元ぎゃくげん
$5\times 3\equiv 1\left(mod7\right)$	$5^{-1}\equiv 3\left(mod7\right)$
$3\times 2\equiv 1\left(mod5\right)$	$3^{-1}\equiv 2\left(mod5\right)$

たとえば $\left(mod7\right)$ では $5\times 3=15\equiv 1$ なので、$5$ の逆元ぎゃくげんは $3$ です。これを使つかえば $5x\equiv 3\left(mod7\right)$ の両辺りょうへんに $3$ を掛かけて $x\equiv 2$ と解とけます。

試験しけんでは 一次合同式いちじごうどうしき $ax\equiv b\left(modm\right)$ を解とくときに「両辺りょうへんを $a$ で割われる」代かわりに逆元ぎゃくげんを掛かける。法ほうと互いに素たがいにそでないと逆元ぎゃくげんが存在そんざいしない点てんに注意ちゅうい。