高校こうこう数学すうがくC 実力じつりょく判定はんてい 60 問もん

この問題集で出る問題

全60問。答えと解説は「スタート」を押すと1問ずつ表示されます。

1. 空間くうかん ベクトル $\vec{a} = (1, 2, -2)$ の 大おおき さ $|\vec{a}|$ を 整数せいすうで答えこたえなさい。
2. $\vec{a} = (2, -1, 3)$、 $\vec{b} = (1, 4, -2)$ の とき、 内積ないせき $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値あたいはいくらですか？ (整数せいすう で 答えこたえ)
3. 2 つ の 空間くうかん ベクトル $\vec{a} = (1, 0, 1)$, $\vec{b} = (0, 1, 1)$ の なす 角$\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) はいくらですか？
   • ・$\theta = \frac{\pi}{6}$
   • ・$\theta = \frac{\pi}{4}$
   • ・$\theta = \frac{\pi}{3}$
   • ・$\theta = \frac{\pi}{2}$
4. $\vec{a} = (1, 2, 0)$, $\vec{b} = (0, 1, 1)$ の 外積がいせき $\vec{a} \times \vec{b}$ はどれですか？
   • ・$(1, 2, 1)$
   • ・$(-2, 1, 1)$
   • ・$(2, 1, -1)$
   • ・$(2, -1, 1)$
5. 2 次じ正方せいほう行列ぎょうれつ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ の 行列式ぎょうれつしき $\det A$ の値あたいはいくらですか？ (整数せいすう で 答えこたえ)
6. 空間くうかんベクトルと 行列ぎょうれつ に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
   • ・外積がいせき $\vec{a} \times \vec{b}$ は $\vec{a}$、 $\vec{b}$ の 両方 に 垂直 な ベクトル に なる
   • ・$|\vec{a} \times \vec{b}|$ は $\vec{a}$、 $\vec{b}$ で 作 ら れ る 平行四辺形 の 面積 に 等 し い
   • ・行列ぎょうれつ の 積 $AB$ と $BA$ は 必ず 等 し い
   • ・$\det A \ne 0$ の とき、 行列 $A$ は 逆行列ぎゃくぎょうれつ $A^{-1}$ を もつ
7. 媒介ばいかい変数へんすう$t$ を使つかって $x = 2t,\ y = t^2$ と表あらわされる曲線きょくせんを $y$ を $x$ の式しきで表あらわすとどうなりますか？
   • ・$y = \frac{x^2}{4}$
   • ・$y = \frac{x^2}{2}$
   • ・$y = x^2$
   • ・$y = 4x^2$
8. $x = 3\cos\theta,\ y = 3\sin\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) はどのような図形ずけいを表あらわしますか？
   • ・原点 中心、 半径 9 の 円
   • ・原点 中心、 半径 3 の 円
   • ・原点 中心、 長半径 3 の 楕円
   • ・直線 $y = x$
9. 媒介ばいかい変数へんすう$t$ で表あらわされる曲線きょくせん$x = t + 1,\ y = t^2 - 1$ について、 $y$ を $x$ の式しきで表あらわしなさい。 (例れい: $y=x^2-2x$ の形かたちで)
10. 媒介ばいかい変数へんすう$\theta$ で $x = 2\cos\theta,\ y = 3\sin\theta$ と表あらわされる曲線きょくせんの式しきを $x, y$ で表あらわすとどれですか？
    • ・$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
    • ・$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$
    • ・$x^2 + y^2 = 13$
    • ・$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
11. サイクロイド $x = a(\theta - \sin\theta),\ y = a(1 - \cos\theta)$ ($a > 0$) の $\theta = \pi$ における点てんの 座標ざひょう はどれですか？
    • ・$(a\pi, 0)$
    • ・$(a\pi, a)$
    • ・$(a\pi, 2a)$
    • ・$(0, 2a)$
12. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ$x = t^2,\ y = 2t$ で、 $t = 3$ のときの点てんの座標ざひょうを $(x, y)$ の形かたちで答えこたえなさい。
13. 直交座標ちょっこうざひょう $(x, y) = (1, \sqrt{3})$ に対応たいおうする 極座標きょくざひょう $(r, \theta)$ ($r > 0,\ 0 \le \theta < 2\pi$) はどれですか？
    • ・$(2, \frac{\pi}{6})$
    • ・$(2, \frac{\pi}{3})$
    • ・$(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})$
    • ・$(4, \frac{\pi}{3})$
14. 極座標きょくざひょう $(r, \theta) = (4, \frac{\pi}{2})$ に対応たいおうする 直交座標ちょっこうざひょう を $(x, y)$ の形かたちで答えこたえなさい。
15. 極方程式きょくほうていしき $r = 2$ はどのような図形ずけいを表あらわしますか？ 「原点げんてん中心ちゅうしん、 半径はんけい N の円えん」 の形式けいしきで N に入はいる整数せいすうを答えこたえなさい。
16. 極方程式きょくほうていしき $r = 2\cos\theta$ は どの よう な 図形ずけいを表あらわしますか？
    • ・中心 $(1, 0)$、 半径 1 の 円
    • ・原点 中心、 半径 2 の 円
    • ・中心 $(2, 0)$、 半径 1 の 円
    • ・直線 $x = 2$
17. 極座標きょくざひょう と 極方程式きょくほうていしき に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・極座標きょくざひょう $(r, \theta)$ で は 原点 を 「極」、 始 線 を 「極軸」 と 呼 ぶ
    • ・$r > 0$ の とき、 同 じ 点 を 表 す $\theta$ は $2\pi$ の 整数 倍 だ け ず ら し て も よ い
    • ・極方程式きょくほうていしき $r = a$ ($a > 0$) は 原点 中心 半径 $a$ の 円 を 表 す
    • ・極座標きょくざひょう と 直交座標ちょっこうざひょう は 変換 で き な い (互換性 が な い)
18. 直交座標ちょっこうざひょう で の 方程式ほうていしき$x^2 + y^2 = 4y$ を 極方程式きょくほうていしき ($r$ を $\theta$ の 式しき で) に直なおしなさい。 (例れい: $r = 4 \sin \theta$ の 形かたち で)
19. 円錐えんすいを平面へいめんで切きった切きり口くちに 当あてはまらない 曲線きょくせんはどれですか？
    • ・らせん (螺旋)
    • ・円
    • ・楕円
    • ・放物線
20. 円錐曲線えんすいきょくせん を 離心率りしんりつ $e$ で分類ぶんるいするとき、 $e = 1$ はどの曲線きょくせんに対応たいおうしますか？
    • ・円
    • ・放物線
    • ・楕円
    • ・双曲線
21. 次つぎ の うち 離心率りしんりつ が 1 よ り 大おおき い 円錐えんすい曲線きょくせんはどれですか？
    • ・$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
    • ・$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$
    • ・$y^2 = 4x$
    • ・$x^2 + y^2 = 9$
22. 円錐曲線えんすいきょくせん は 「ある 焦点しょうてん からの距離きょり」 と 「ある 準線じゅんせん からの距離きょり」 の比ひ (離心率りしんりつ) が一定いっていの点てんの軌跡きせきとして定義ていぎできる。 この性質せいしつを 「焦点しょうてん・準じゅん線せんの定義ていぎ」 と呼よぶことがある。 この比ひを何なんというか、 漢字かんじ (3 字じ) で答えこたえなさい。
23. 円錐曲線えんすいきょくせん の性質せいしつに関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・楕円 は 2 つ の 焦点しょうてん か ら の 距離 の 和 が 一定 の 点 の 軌跡
    • ・双曲線そうきょくせん は 2 つ の 焦点しょうてん か ら の 距離 の 差 の 絶対値 が 一定 の 点 の 軌跡
    • ・放物線 は 1 つ の 焦点しょうてん と 1 本 の 準線じゅんせん か ら 等 距離 の 点 の 軌跡
    • ・円 は 離心率りしんりつ が 1 の 円錐 曲線
24. 曲線きょくせん$4x^2 + 9y^2 = 36$ は次つぎのうちどの種類しゅるいに属ぞくしますか？
    • ・円
    • ・放物線
    • ・双曲線
    • ・楕円
25. 楕円だえん $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ の 長ちょう半径はんけい$a$ と 短たん半径はんけい$b$ の組くみとして正ただしいものはどれですか？
    • ・$a = 25, b = 16$
    • ・$a = 4, b = 5$
    • ・$a = \sqrt{5}, b = \sqrt{4}$
    • ・$a = 5, b = 4$
26. 楕円だえん $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ の 2 つの 焦点しょうてん の座標ざひょうを $(\pm c, 0)$ と表あらわすとき、 $c$ の値あたいはいくらですか？ (整数せいすうで答えこたえ)
27. 楕円だえん $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ の 2 つ の 焦点しょうてん の 座標ざひょうはどれですか？
    • ・$(\pm 4, 0)$
    • ・$(0, \pm 4)$
    • ・$(\pm 3, 0)$
    • ・$(0, \pm 5)$
28. 2 焦点しょうてん $F_1(-3, 0)$、 $F_2(3, 0)$ からの距離きょりの 和わ が 10 である点てんの軌跡きせき (楕円だえん) の方程式ほうていしきとして正ただしいものはどれですか？
    • ・$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
    • ・$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
    • ・$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$
    • ・$\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{6} = 1$
29. 楕円だえん $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) の 離心率りしんりつ $e$ を $a, c$ ($c$ は中心ちゅうしんから焦点しょうてんまでの距離きょり) を使つかって表あらわしなさい。 (例れい: $e = c/a$ の形かたちで)
30. 楕円だえん $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ の 離心率りしんりつ $e$ はいくらですか？
    • ・$e = \frac{3}{4}$
    • ・$e = \frac{\sqrt{7}}{3}$
    • ・$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$
    • ・$e = \frac{4}{5}$
31. 双曲線そうきょくせん $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ の 頂点ちょうてん の 座標ざひょうはどれですか？
    • ・$(\pm 3, 0)$
    • ・$(0, \pm 4)$
    • ・$(\pm 4, 0)$
    • ・$(\pm 9, 0)$
32. 双曲線そうきょくせん $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ の 焦点しょうてん の 座標ざひょうはどれですか？
    • ・$(\pm 3, 0)$
    • ・$(\pm 4, 0)$
    • ・$(\pm 7, 0)$
    • ・$(\pm 5, 0)$
33. 双曲線そうきょくせん $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ の 2 本ほんの 漸近線ぜんきんせん の方程式ほうていしきをまとめて $y = \pm \frac{N}{4} x$ と表あらわしたとき、 N に入はいる整数せいすうを答えこたえなさい。
34. 焦点しょうてんが $(\pm 5, 0)$ で、 2 つの焦点しょうてんからの距離きょりの 差さの絶対ぜったい値ち が 6 である 双曲線そうきょくせん の方程式ほうていしきはどれですか？
    • ・$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
    • ・$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
    • ・$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$
    • ・$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$
35. 双曲線そうきょくせん $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ (共役きょうやく双曲線そうきょくせん形がた) について、 頂点ちょうてん と 焦点しょうてん の組くみとして正ただしいものはどれですか？
    • ・頂点 $(\pm 4, 0)$、 焦点 $(\pm 5, 0)$
    • ・頂点 $(0, \pm 4)$、 焦点 $(0, \pm 5)$
    • ・頂点 $(0, \pm 3)$、 焦点 $(0, \pm 5)$
    • ・頂点 $(\pm 3, 0)$、 焦点 $(\pm 4, 0)$
36. 双曲線そうきょくせん $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a, b > 0$) に関かんして、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・焦点 か ら の 距離 の 差 の 絶対値 は $2a$ で 一定
    • ・離心率りしんりつ $e = \frac{c}{a}$ は 1 よ り 大き い
    • ・漸近線ぜんきんせん は $y = \pm \frac{b}{a} x$
    • ・焦点 は $y$ 軸 上 に あ る
37. 放物線ほうぶつせん $y^2 = 8x$ の 焦点しょうてん の 座標ざひょうはどれですか？
    • ・$(4, 0)$
    • ・$(0, 2)$
    • ・$(8, 0)$
    • ・$(2, 0)$
38. 放物線ほうぶつせん $y^2 = 8x$ の 準線じゅんせん の方程式ほうていしきは $x = N$ の形かたちで表あらわされる。 N に入はいる整数せいすうを答えこたえなさい。
39. 放物線ほうぶつせん に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・$y^2 = 4px$ ($p > 0$) は 右 向 き (正 の $x$ 方向) に 開 く
    • ・$x^2 = 4py$ ($p > 0$) は 上 向 き (正 の $y$ 方向) に 開 く
    • ・放物線ほうぶつせん 上 の 点 か ら の 「焦点 ま で の 距離」 と 「準線 ま で の 距離」 は 常 に 等 し い
    • ・放物線ほうぶつせん の 離心率りしんりつ は $0$ で あ る
40. 焦点しょうてんが $(2, 0)$、 準じゅん線せんが $x = -2$ である放物線ほうぶつせんの方程式ほうていしきを 「$y^2 = N x$」 の形かたち ($N$ は整数せいすう) で表あらわすとき、 N の値あたいはいくらですか？
41. 放物線ほうぶつせん $y^2 = 16x$上の点$P(4, y_0)$ ($y_0 > 0$) から 焦点しょうてん までの距離きょりはいくらですか？
    • ・$8$
    • ・$4$
    • ・$12$
    • ・$16$
42. 放物線ほうぶつせん $y = \frac{1}{4} x^2$ に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・標準形ひょうじゅんがた に 直 す と $x^2 = 4y$ で あ る
    • ・焦点しょうてん の 座標 は $(0, 1)$
    • ・準線じゅんせん の 方程式 は $y = -1$
    • ・頂点 は $(1, 0)$ で あ る
43. 複素数ふくそすう $z = 3 + 4i$ の 絶対値ぜったいち $|z|$ はいくらですか？
    • ・$5$
    • ・$7$
    • ・$12$
    • ・$25$
44. 複素数ふくそすう $z = 1 + i$ の 共役複素数きょうやくふくそすう $\bar{z}$ はどれですか？
    • ・$1 + i$
    • ・$-1 + i$
    • ・$1 - i$
    • ・$-1 - i$
45. 複素数ふくそすう $z = 2 + i$、 $w = 1 + 3i$ のとき、 $|z - w|$ (複素数平面ふくそすうへいめん上じょうの 2 点てん間かんの距離きょり) の値あたいを求もとめなさい。 (例れい: $\sqrt{5}$ や 5 のように)
46. 複素数平面ふくそすうへいめん で、 $|z - 2| = 3$ を満みたす点$z$ の集合しゅうごうはどのような図形ずけいですか？
    • ・原点 中心、 半径 3 の 円
    • ・点 $2i$ を 中心 と す る 半径 3 の 円
    • ・点 $2$ (実軸 上) を 中心 と す る 半径 3 の 円
    • ・実軸 か ら の 距離 が 3 の 直線
47. $(2 + 3i)(2 - 3i)$ を 計算けいさんしなさい。
    • ・$13$
    • ・$4 + 9i$
    • ・$-5$
    • ・$13 - 12i$
48. 複素数ふくそすう $z, w$ に関かんする次つぎの等式とうしきのうち、 常つねに成なり立たつ ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・$|zw| = |z||w|$
    • ・$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
    • ・$|z + w| = |z| + |w|$
    • ・$z \bar{z} = |z|^2$
49. 複素数ふくそすう $z = 1 + i$ の 極形式きょくけいしき $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r > 0,\ 0 \le \theta < 2\pi$) で の $r$ と $\theta$ の組くみはどれですか？
    • ・$r = \sqrt{2},\ \theta = \frac{\pi}{4}$
    • ・$r = 2,\ \theta = \frac{\pi}{4}$
    • ・$r = \sqrt{2},\ \theta = \frac{\pi}{6}$
    • ・$r = 1,\ \theta = \frac{\pi}{2}$
50. 複素数ふくそすう$z = -1 + \sqrt{3} i$ の 偏角へんかく $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) はいくらですか？ 「$\frac{N\pi}{3}$」 の N に入はいる整数せいすうを答えこたえなさい。
51. 極形式きょくけいしき $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$、 $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ に関かんする次つぎの公式こうしきのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。 ($r_1, r_2 > 0$)
    • ・$|z_1 z_2| = r_1 r_2$
    • ・$\arg(z_1 z_2) = \theta_1 + \theta_2$ (mod $2\pi$)
    • ・$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{r_1}{r_2}$、 $\arg\frac{z_1}{z_2} = \theta_1 - \theta_2$
    • ・$z_1 + z_2 = (r_1 + r_2)\left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right)$
52. $z_1 = 6\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$、 $z_2 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ の と き、 商$\frac{z_1}{z_2}$ の 極形式きょくけいしきはどれですか？
    • ・$3\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$
    • ・$3\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$
    • ・$3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$
    • ・$12\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$
53. 複素数ふくそすう$z = \sqrt{3} - i$ の 極形式きょくけいしき は $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r > 0,\ -\pi < \theta \le \pi$) で表あらわすと $r = N_1, \theta = -\frac{\pi}{N_2}$ となる。 $N_1$ の値あたい ($r$、 整数せいすう) を答えこたえなさい。
54. 複素数平面ふくそすうへいめん上じょうで、 点$z = 2 + 2i$ を原点げんてんを中心ちゅうしんとして 反はん時計とけい回まわり に $\frac{\pi}{2}$回転かいてんした点てんを表あらわす複素数ふくそすうはどれですか？
    • ・$-2 + 2i$
    • ・$2 - 2i$
    • ・$-2 - 2i$
    • ・$-2i$
55. ド・モアブルの定理どもあぶるのていり $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = ?$ として正ただしい式しきはどれですか？ ($n$ は 整数せいすう)
    • ・$n(\cos\theta + i\sin\theta)$
    • ・$\cos\theta^n + i\sin\theta^n$
    • ・$\cos(\theta + n) + i\sin(\theta + n)$
    • ・$\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
56. $(1 + i)^4$ を 計算けいさんしなさい。
    • ・$-4$
    • ・$4$
    • ・$4i$
    • ・$-4i$
57. ド・モアブルの定理どもあぶるのていり を 使し い、 $\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)^6$ の値あたいを求もとめなさい。 (整数せいすう で 答えこたえ)
58. 方程式ほうていしき$z^3 = 1$ の解かい (1 の 3 乗根じょうこん) はいくつあり、 どのように並ならびますか？
    • ・1 個 (実数 $z = 1$ の み)
    • ・2 個 ($z = \pm 1$)
    • ・3 個 — 偏角 $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ の 位置
    • ・3 個 — 単位円上、 偏角 $0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ の 正三角形 の 頂点
59. 1 の 6 乗根じょうこん (方程式ほうていしき$z^6 = 1$ の 解かい) の うち、 $z \ne 1$ で 偏へん角かく が 最小さいしょう の 正せい ($0 < \theta < 2\pi$) のものはどれですか？
    • ・$\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$
    • ・$\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$
    • ・$\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}$
    • ・$\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$
60. ド・モアブルの定理どもあぶるのていり と 1 の n 乗根1 の n じょうこん に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり は 整数 $n$ (負 や 0 を 含 む) に 対 し て 成り立 つ
    • ・1 の $n$ 乗根 は 必 ず $n$ 個 存在 し、 単位円 上 を 等 間隔 に 並 ぶ
    • ・1 の $n$ 乗根 全 て を 足 す と (n ≥ 2 で あ れ ば) 0 に な る
    • ・1 の $n$ 乗根 は 全 て 実数 で あ る