高校こうこう数学すうがくA 実力じつりょく判定はんてい 60 問もん

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1. サイコロを 1 個こ投なげた時とき、 出でる目めが 「偶数ぐうすうまたは 3 以下いか」 となる場合ばあいの数かずは何なん通とおりですか？
   • ・5 通 り
   • ・4 通 り
   • ・6 通 り
   • ・3 通 り
2. A 市しから B 市しへ行いく道みちが 3 本ほん、 B 市しから C 市しへ行いく道みちが 4 本ほんある。 A 市しから B 市しを経由けいゆして C 市しへ行いく道順みちじゅんは何なん通とおりありますか？ (数字すうじで)
3. $5!$ (階乗かいじょう) の値あたいはいくつですか？
   • ・120
   • ・60
   • ・720
   • ・20
4. 6 人ひと を 1 列れつに並ならべる並ならべ方かたは何なん通とおりありますか？
   • ・720 通 り
   • ・36 通 り
   • ・120 通 り
   • ・5040 通 り
5. 10 人ひとの中なかから 3 人ひとを選えらんで 1 列れつに並ならべる並ならべ方かた ($_{10}P_3$) は何なん通とおりですか？ (数字すうじで)
6. 男子だんし 3 人ひと、 女子じょし 2 人ひとを 1 列れつに並ならべるとき、 女子じょし 2 人ひとが隣となり合あう並ならべ方かたは何なん通とおりですか？
   • ・48 通 り
   • ・24 通 り
   • ・60 通 り
   • ・120 通 り
7. 0, 1, 2, 3, 4 の 5 個この数字すうじから異ことなる 3 個こを並ならべて 3 桁けた の整数せいすうを作つくるとき、 全部ぜんぶで何なん通とおりできますか？
   • ・60 通 り
   • ・100 通 り
   • ・48 通 り
   • ・120 通 り
8. 順列じゅんれつ と 組合せくみあわせ に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
   • ・$_nP_r = _nC_r \times r!$
   • ・$_nC_r = _nC_{n-r}$
   • ・$_nC_0 = 0$
   • ・$_nP_r$ は 並 べ る 順序 を 区別 す る
9. $_5C_2$ の値あたいはいくつですか？
   • ・5
   • ・20
   • ・10
   • ・60
10. 10 人ひとから 3 人ひとの委員いいんを選えらぶ選えらび方かた ($_{10}C_3$) は何なん通とおりですか？ (数字すうじで)
11. 男子だんし 5 人ひと、 女子じょし 4 人ひとから男子だんし 2 人ひと、 女子じょし 2 人ひとを選えらぶ選えらび方かたは何なん通とおりですか？
    • ・20 通 り
    • ・40 通 り
    • ・126 通 り
    • ・60 通 り
12. 「STUDIA」 の 6 文字もじ を 1 列れつに並ならべる並ならべ方かたは何なん通とおりですか？ (数字すうじ で)
13. 「TANAKA」 の 6 文字もじ (A が 3 個こ、 T・N・K 各かく 1 個こ) を 1 列れつに並ならべる並ならべ方かたは何なん通とおりですか？
    • ・120 通 り
    • ・60 通 り
    • ・360 通 り
    • ・720 通 り
14. 6 人ひとが円形えんけいのテーブルに座すわる座すわり方かた (円順列えんじゅんれつ) は何なん通とおりですか？
    • ・120 通 り
    • ・60 通 り
    • ・360 通 り
    • ・720 通 り
15. $(a + b)^5$ を展開てんかいしたとき、 $a^2 b^3$ の係数けいすうはいくつですか？
    • ・5
    • ・10
    • ・20
    • ・60
16. $_8C_3 + _8C_4$ は $_9C_k$ の形かたちに書かけます。 この $k$ の値あたいはいくつですか？ (数字すうじで)
17. サイコロを 1 個こ投なげて偶数ぐうすうの目めが出でる 確率かくりつ はいくつですか？
    • ・$\dfrac{1}{6}$
    • ・$\dfrac{1}{3}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{2}{3}$
18. コインを 2 枚まい投なげて、 2 枚まいとも表ひょうとなる 確率かくりつ はいくつですか？ (分数ぶんすうで)
19. サイコロを 2 個こ同時どうじに投なげた時とき、 出でる目めの和わが 7 となる 確率かくりつ はいくつですか？
    • ・$\dfrac{5}{36}$
    • ・$\dfrac{1}{6}$
    • ・$\dfrac{7}{36}$
    • ・$\dfrac{1}{3}$
20. 袋ふくろに赤玉あかだま 4 個こ、 白玉しらたま 6 個こが入はいっている。 ここから 2 個こ同時どうじに取とり出だした時とき、 2 個ことも赤あかである 確率かくりつ はいくつですか？ (既約分数きやくぶんすうで)
21. サイコロを 2 回かい投なげる時とき、 「1 回かい目めが偶数ぐうすう」 と 「2 回かい目めが 3 以下いか」 の事象じしょうはどのような関係かんけいですか？
    • ・排反事象 (同時 に 起 こ ら な い)
    • ・余事象 (一方 が 起 こ れ ば 必 ず 他方 は 起 こ ら な い)
    • ・独立事象どくりつじしょう (一方 が 他方 に 影響 し な い)
    • ・従属事象 (一方 が 他方 に 影響 す る)
22. 確率かくりつ$\dfrac{1}{3}$ で当あたるくじを 3 回かい引ひいたとき、 ちょうど 1 回かい当あたる 確率かくりつ はいくつですか？ (毎回まいかい戻もどす)
    • ・$\dfrac{1}{3}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{4}{9}$
    • ・$\dfrac{2}{3}$
23. サイコロを 1 個こ投なげて 「1 以外いがい」 の目めが出でる 確率かくりつ はいくつですか？ (既約分数きやくぶんすうで)
24. サイコロを 3 個こ投なげるとき、 少すくなくとも 1 個こは 6 の目めが出でる 確率かくりつ はいくつですか？
    • ・$\dfrac{1}{6}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{1}{216}$
    • ・$\dfrac{91}{216}$
25. 袋ふくろに白玉しらたま 3 個こ、 黒くろ玉だま 5 個こがある。 玉たまを 1 個こずつ 2 回かい取とり出だす (戻もどさない) 時とき、 2 個ことも黒くろである 確率かくりつ はいくつですか？
    • ・$\dfrac{5}{14}$
    • ・$\dfrac{25}{64}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{5}{8}$
26. 確率かくりつ の性質せいしつに関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・任意 の 事象 $A$ に 対 し $0 \le P(A) \le 1$
    • ・排反事象はいはんじしょう $A, B$ に 対 し $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
    • ・全 事象 $U$ に 対 し $P(U) = 0$
    • ・$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ($\overline{A}$ は $A$ の 余事象よじしょう)
27. 条件付き確率じょうけんつきかくりつ $P_A(B)$ (事象じしょう$A$ が起おきた条件下じょうけんかで事象じしょう$B$ が起おこる確率かくりつ) を表あらわす式しきとして正ただしいものはどれですか？
    • ・$P_A(B) = P(A) \times P(B)$
    • ・$P_A(B) = \dfrac{P(A)}{P(B)}$
    • ・$P_A(B) = P(A) + P(B)$
    • ・$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
28. 乗法定理じょうほうていり: $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$。 この式しきで $P_A(B)$ は何なにと呼よばれる確率かくりつですか？
29. あるクラスで、 男子だんしが 60%、 女子じょしが 40%。 男子だんしの 30%、 女子じょしの 50% が通学つうがくにバスを使つかう。 ランダムに選えらんだ生徒せいとがバス通学つうがくである 確率かくりつ はいくつですか？
    • ・0.18
    • ・0.38
    • ・0.20
    • ・0.80
30. 問もん 29 の状況じょうきょうで、 「バス通学つうがくしている生徒せいと」 をランダムに選えらんだとき、 その生徒せいとが女子じょしである 条件付き確率じょうけんつきかくりつ はいくつですか？
    • ・$\dfrac{9}{19}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{2}{5}$
    • ・$\dfrac{10}{19}$
31. 病気びょうき X の検査けんさは病人びょうにんの 99%、 健康けんこう人じんの 5% を陽性ようせいと判定はんていする。 病気びょうき X の有ゆう病びょう率りつは 1%。 ある人ひとを検査けんさして陽性ようせいだった時とき、 その人ひとが実際じっさいに病気びょうきである 確率かくりつ は約やくどの程度ていどですか？
    • ・約 1%
    • ・約 50%
    • ・約 99%
    • ・約 17%
32. 袋ふくろに赤玉あかだま 4 個こ、 白玉しらたま 6 個こが入はいっている。 玉たまを 1 個こずつ戻もどさずに 2 回かい取とり出だす時とき、 「1 個こ目め赤あか、 2 個こ目白めじろ」 の 確率かくりつ はいくつですか？ (既約分数きやくぶんすうで)
33. 期待値きたいち $E(X)$ の定義ていぎとして正ただしいものはどれですか？ ($X$ の取とりうる値あたい$x_i$、 確率かくりつ$p_i$)
    • ・$E(X) = \sum x_i p_i$
    • ・$E(X) = \sum x_i$
    • ・$E(X) = \sum p_i$
    • ・$E(X) = \dfrac{1}{n} \sum x_i$
34. サイコロを 1 個こ投なげたときの出でる目めの 期待値きたいち はいくつですか？ (小数しょうすうで)
35. 300 円えん払はらって 1 回かい引ひくくじがあり、 1 等ひとし 1000 円えん (確率かくりつ 0.2)、 2 等ひとし 500 円えん (確率かくりつ 0.3)、 ハズレ 0 円えん (確率かくりつ 0.5) です。 賞金しょうきんの 期待値きたいち はいくつですか？
    • ・250 円
    • ・350 円
    • ・300 円
    • ・500 円
36. コインを 3 回かい投なげた時とき、 表ひょうの出でる回数かいすう$X$ の 期待値きたいち はいくつですか？
    • ・1
    • ・2
    • ・1.5
    • ・3
37. 60 の 正の約数せいのやくすう の 個数こすうはいくつですか？
    • ・8 個
    • ・12 個
    • ・10 個
    • ・16 個
38. 72 を 素因数分解そいんすうぶんかい せ よ。 (例れい: 2^3 × 3 のように)
39. $48 = 2^4 \times 3$ と $36 = 2^2 \times 3^2$ の 最大公約数さいだいこうやくすう $\gcd(48, 36)$ はいくつですか？
    • ・6
    • ・24
    • ・12
    • ・144
40. $48$ と $36$ の 最小公倍数さいしょうこうばいすう $\mathrm{lcm}(48, 36)$ はいくつですか？ (数字すうじ で)
41. $n$ が 4 の倍数ばいすうである必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんとして、 10 進法10 すすむほう の表あらわし方かたについて正ただしいものはどれですか？
    • ・一 の 位 が 偶数
    • ・下 3 桁 が 4 の 倍数
    • ・各 桁 の 和 が 4 の 倍数
    • ・下 2 桁 が 4 の 倍数
42. 次つぎの整数せいすうのうち、 素数そすう であるものはどれですか？
    • ・91
    • ・127
    • ・111
    • ・143
43. $2^{10}$ の 1 の位1 のくらい の 数字すうじはいくつですか？ (数字すうじ 1 字じ)
44. 合同式ごうどうしき (mod $n$) に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・$a \equiv b \pmod{n}$ ⇔ $a - b$ が $n$ の 倍数
    • ・$a \equiv b$、 $c \equiv d \pmod{n}$ な ら $a + c \equiv b + d \pmod{n}$
    • ・$a \equiv b$、 $c \equiv d \pmod{n}$ な ら $ac \equiv bd \pmod{n}$
    • ・$a \equiv b \pmod{n}$ な ら 必 ず $a = b$
45. ユークリッドの互除法ゆーくりっどのごじょほう は、 2 つの整数せいすうの何なにを求もとめる方法ほうほうですか？
    • ・最小公倍数 ($\mathrm{lcm}$)
    • ・和
    • ・最大公約数 ($\gcd$)
    • ・素因数分解
46. ユークリッドの互除法ゆーくりっどのごじょほう で $\gcd(91, 35)$ を 計算けいさん せ よ。
    • ・1
    • ・7
    • ・5
    • ・13
47. ユークリッドの互除法ゆーくりっどのごじょほう で $\gcd(252, 105)$ を求もとめよ。 (数字すうじ で)
48. $\gcd(a, b) = 1$ (互たがいに素もと) である 2 つの正せい整数せいすう$a, b$ に関かんする記述きじゅつとして 誤あやまっている ものはどれですか？
    • ・$a + b$ は 必 ず 偶数 で あ る
    • ・$a, b$ の 共通 の 素因数 は 存在 し な い
    • ・$\mathrm{lcm}(a, b) = ab$
    • ・$\gcd(a^2, b^2) = 1$ で あ る
49. 不定方程式ふていほうていしき $ax + by = c$ が 整数せいすう解かいをもつための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん はどれですか？
    • ・$c$ が $\gcd(a, b)$ の 倍数
    • ・$a, b, c$ が す べ て 正
    • ・$a$ と $b$ が 互 い に 素
    • ・$a, b, c$ が す べ て 素数
50. $3x + 5y = 1$ の整数せいすう解かい$(x, y)$ を 1 組くみ求もとめよ。 例れい: $(x, y) = (\_, \_)$ の形かたちで。 (1 つの解かいを答こたえる)
51. $3x + 5y = 1$ の整数せいすう解かいの 一般いっぱん解かい はどれですか？ ($k$ は整数せいすうを表あらわす)
    • ・$x = 2 + 3k$、 $y = -1 + 5k$
    • ・$x = 2 + 5k$、 $y = -1 - 3k$
    • ・$x = 2 - 3k$、 $y = -1 + 3k$
    • ・$x = 2 + k$、 $y = -1 + k$
52. $7x + 11y = 1$ の整数せいすう解かいのうち、 $x$ が 正せいで最小さいしょう のものの $x$ の値あたいはいくつですか？
    • ・2
    • ・5
    • ・8
    • ・11
53. 三角形さんかくけいの 3 つの中ちゅう線せん (頂点ちょうてんと対辺たいへんの中点ちゅうてんを結むすぶ線分せんぶん) の交点こうてんは何なにと呼よばれますか？
    • ・内心ないしん
    • ・外心がいしん
    • ・垂心すいしん
    • ・重心じゅうしん
54. 三角形さんかくけいの 3 辺へんから等距離とうきょりにある点てん (内接ないせつ円えんの中心ちゅうしん) を何なにといいますか？
55. 三角形さんかくけいの 3 頂点ちょうてんから等距離とうきょりにある点てん (外接がいせつ円えんの中心ちゅうしん) を何なにといいますか？
    • ・内心ないしん
    • ・重心じゅうしん
    • ・垂心すいしん
    • ・外心がいしん
56. 三角形さんかくけいの各かく頂点ちょうてんから対辺たいへん (またはその延長えんちょう) に下おろした 3 本ほんの 垂線すいせん の交点こうてんを何なにといいますか？
57. 三角形さんかくけいの 五心ごしん とその性質せいしつに関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・重心じゅうしん は 各 中線 を 頂点 か ら 2:1 に 内分 す る
    • ・内心ないしん は 3 つ の 内角 の 二等分線 の 交点
    • ・外心がいしん は 必 ず 三角形 の 内部 に あ る
    • ・重心じゅうしん・外心がいしん・垂心すいしん は 1 直線上 に あ る (オイラー線オイラーせん)
58. 1 つの弧こに対たいする 円周角えんしゅうかく と 中心角ちゅうしんかく の関係かんけいとして正ただしいものはどれですか？
    • ・円周角 = 中心角
    • ・円周角 = 2 × 中心角
    • ・円周角 = 90° - 中心角
    • ・円周角 = (1/2) × 中心角
59. 円えんの直径ちょっけいに対たいする 円周角えんしゅうかく は何なん度どですか？ (数字すうじで、 単位たんい不要ふよう)
60. 円えんの外部がいぶの点てん P から円えんに引ひいた 2 つの割線かっせんが、 円えんと点$A, B$ ($PA < PB$)、 および点$C, D$ ($PC < PD$) で交まじわるとき、 方べきの定理ほうべきのていり が表あらわす関係かんけいとして正ただしいものはどれですか？
    • ・$PA + PB = PC + PD$
    • ・$PA \cdot PB = PC \cdot PD$
    • ・$PA / PB = PC / PD$
    • ・$PA^2 + PB^2 = PC^2 + PD^2$