高校こうこう数学すうがくIII 実力じつりょく判定はんてい 60 問もん

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1. 数列すうれつ $a_n = \dfrac{2n+1}{n+3}$ の 極限きょくげん $\lim_{n\to\infty} a_n$ の値あたいはどれですか？
   • ・$0$
   • ・$2$
   • ・発散 す る
   • ・$1$
2. 等比数列とうひすうれつ の 無限級数むげんきゅうすう $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$ の和わを求もとめなさい。 (整数せいすう or 既約分数きやくぶんすう で)
3. 極限きょくげん $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - n)$ の値あたいはどれですか？
   • ・$0$
   • ・$\dfrac{1}{2}$
   • ・$1$
   • ・$\infty$
4. $|r|$ の値あたいによって $\lim_{n\to\infty} \dfrac{r^n - 1}{r^n + 1}$ の極限きょくげんは異ことなる。 $r=2$ のときの極限きょくげん値ちはどれですか？
   • ・$-1$
   • ・$1$
   • ・$0$
   • ・発散 す る
5. 無限等比級数むげんとうひきゅうすう $\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}$ が 収束しゅうそく す る 条件じょうけん は 「$a=0$ ま た は $|r| < \square$」。 $\square$ に入はいる数かずを答えこたえなさい。
6. 無限級数むげんきゅうすう の 収束しゅうそく に関かんして、 次つぎのうち 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
   • ・$\sum 1/n$ (調和級数ちょうわきゅうすう) は 発散 す る
   • ・$\sum 1/n^2$ は 収束 す る
   • ・$\sum (-1)^{n-1}/n$ は 発散 す る
   • ・$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ な ら $\sum a_n$ は 必 ず 収束 す る
7. 極限きょくげん $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ の値あたいはどれですか？
   • ・$0$
   • ・$1$
   • ・$\dfrac{1}{2}$
   • ・$\infty$
8. 極限きょくげん $\lim_{x\to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ の値あたいを既約分数きやくぶんすうで答えこたえなさい。
9. 極限きょくげん $\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ の値あたいはどれですか？
   • ・$0$
   • ・$1$
   • ・$e$
   • ・存在 し な い
10. ネイピア数ネイピアすう $e$ を表あらわす極限きょくげん$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = \square$ の $\square$ に入はいるものを記号きごうで答えこたえなさい (1 文字もじ)。
11. 極限きょくげん $\lim_{x\to\infty} \left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{2x}$ の値あたいはどれですか？
    • ・$e^2$
    • ・$e^6$
    • ・$e^5$
    • ・$e^3$
12. 関数かんすう$f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ の $x=0$ における 左右極限さゆうきょくげん について、 正ただしい記述きじゅつはどれですか？
    • ・右極限 $= 1$、 左極限 $= 1$、 極限 $= 1$
    • ・右極限 $= 0$、 左極限 $= 0$、 極限 $= 0$
    • ・右極限 $= 1$、 左極限 $= -1$、 極限 は 存在 し な い
    • ・右極限 $= -1$、 左極限 $= 1$、 極限 は 存在 し な い
13. 関数かんすう$f(x) = x^5$ の 導関数どうかんすう $f'(x)$ はどれですか？
    • ・$5x^4$
    • ・$\dfrac{1}{6}x^6$
    • ・$5x^6$
    • ・$x^4$
14. 積の微分せきのびぶん公式こうしき$\{f(x) g(x)\}' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$ を用もちいて、 $y = x^2 \cdot e^x$ の導どう関数かんすう$y'$ を 「(◯◯) $e^x$」 の形かたちで答えこたえなさい (括弧かっこ内ないは $x$ の多項式たこうしき)。
15. 商の微分しょうのびぶん公式こうしきを用もちいて $y = \dfrac{x}{x^2+1}$ の $y'$ を求もとめなさい。
    • ・$\dfrac{1}{x^2+1}$
    • ・$\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
    • ・$\dfrac{1+x^2}{(x^2+1)^2}$
    • ・$\dfrac{x^2+1}{2x}$
16. 合成関数の微分ごうせいかんすうのびぶん (連鎖律れんさりつ) を用もちいて $y = (3x^2 + 1)^4$ の $y'$ を求もとめなさい。
    • ・$4(3x^2+1)^3$
    • ・$12x(3x^2+1)^3$
    • ・$24x(3x^2+1)^3$
    • ・$6x \cdot (3x^2+1)^4$
17. 逆関数の微分ぎゃくかんすうのびぶん: $y = \sqrt[3]{x}$ ($= x^{1/3}$) の導どう関数かんすう$y'$ を求もとめなさい。 (指数しすう表記ひょうきで 「(1/3)x^(-2/3)」 のように)
18. 微分可能性びぶんかのうせい と 連続性れんぞくせい に関かんして、 次つぎのうち 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・微分可能 な ら 連続 で あ る
    • ・連続 な ら 必 ず 微分可能 で あ る
    • ・$f(x) = |x|$ は $x=0$ で 連続 だ が 微分可能 で は な い
    • ・$f(x) = x^2$ は 全 て の 実数 で 微分可能 で あ る
19. $y = \sin x$ の 導関数どうかんすう $y'$ はどれですか？
    • ・$\cos x$
    • ・$-\sin x$
    • ・$-\cos x$
    • ・$\tan x$
20. $y = \tan x$ の 導どう関数かんすう$y'$ はどれですか？
    • ・$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
    • ・$\sin x$
    • ・$-\cot x$
    • ・$\dfrac{1}{\sin^2 x}$
21. $y = e^x$ の 導関数どうかんすう $y'$ を答えこたえなさい ($x$ を使つかった式しきで)。
22. $y = \log x$ (自然対数しぜんたいすう) の 導どう関数かんすう$y'$ はどれですか？
    • ・$\dfrac{1}{x}$
    • ・$\dfrac{1}{x \log e}$
    • ・$e^x$
    • ・$\log x$
23. 合成関数ごうせいかんすう の微分びぶんを用もちいて $y = \log(\cos x)$ の導どう関数かんすう$y'$ を求もとめなさい。 (三さん角かく関数かんすうを用もちいた式しきで)
24. $y = x^x$ ($x > 0$) の導どう関数かんすう$y'$ はどれですか？ (対数微分法たいすうびぶんほう を用もちいる)
    • ・$x \cdot x^{x-1}$
    • ・$x^x \log x$
    • ・$x^x (\log x + 1)$
    • ・$x^{x-1}$
25. 曲線きょくせん$y = x^3 - 3x$ の点$(2, 2)$ における 接線せっせん の方程式ほうていしきはどれですか？
    • ・$y = 9x + 16$
    • ・$y = 3x - 4$
    • ・$y = 9x - 16$
    • ・$y = 6x - 10$
26. 関数かんすう$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ の 極大値きょくだいち を求もとめなさい。 (整数せいすう で)
27. 関数かんすう$f(x) = x^3 - 3x^2$ の 変曲点へんきょくてん の 座標ざひょうはどれですか？
    • ・$(0, 0)$
    • ・$(1, -2)$
    • ・$(2, -4)$
    • ・$(3, 0)$
28. 区間くかん$[0, 2]$ における関数かんすう$f(x) = x e^{-x}$ の 最大値さいだいち をとる $x$ の値あたいを答えこたえなさい。
29. 平均値の定理へいきんちのていり より、 関数かんすう$f(x) = x^2$ について区間くかん$[1, 3]$ で $\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = f'(c)$ を満みたす $c$ ($1 < c < 3$) の値あたいはどれですか？
    • ・$c = \dfrac{3}{2}$
    • ・$c = \dfrac{5}{2}$
    • ・$c = \sqrt{3}$
    • ・$c = 2$
30. 関数かんすう$f(x) = e^x - 1 - x$ ($x \geq 0$) に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・$f'(x) = e^x - 1 \geq 0$ ($x \geq 0$) で あ る
    • ・$x \geq 0$ で $f(x) \geq 0$ が 成立 す る
    • ・$x \geq 0$ で $e^x \geq 1 + x$ が 成立 す る
    • ・$f(x)$ は $x > 0$ で 減少 関数 で あ る
31. 不定積分ふていせきぶん $\displaystyle\int x^4 \, dx$ はどれですか？ ($C$ は 積分定数せきぶんていすう)
    • ・$\dfrac{x^5}{5} + C$
    • ・$4x^3 + C$
    • ・$\dfrac{x^5}{4} + C$
    • ・$5x^5 + C$
32. 不定積分ふていせきぶん $\displaystyle\int \dfrac{1}{x} \, dx$ を答えこたえなさい。 ($C$ は省略しょうりゃくしてよい、 $\log$ を用もちいる)
33. 定積分ていせきぶん $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \, dx$ の値あたいはどれですか？
    • ・$0$
    • ・$2$
    • ・$1$
    • ・$\pi$
34. 置換積分ちかんせきぶん を用もちいて $\displaystyle\int_0^1 2x \cdot e^{x^2} \, dx$ を求もとめなさい。
    • ・$e$
    • ・$e^2 - 1$
    • ・$2e$
    • ・$e - 1$
35. 部分積分ぶぶんせきぶん を用もちいて $\displaystyle\int x e^x \, dx$ を求もとめなさい。 ($C$ は 積分定数せきぶんていすう)
    • ・$x e^x + C$
    • ・$(x + 1) e^x + C$
    • ・$\dfrac{x^2}{2} e^x + C$
    • ・$(x - 1) e^x + C$
36. 定積分ていせきぶん $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$ の値あたいを答えこたえなさい。 (奇き関数かんすうの性質せいしつを用もちいる)
37. 曲線きょくせん$y = x^2$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x = 0$、 $x = 2$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきはどれですか？
    • ・$\dfrac{4}{3}$
    • ・$2$
    • ・$4$
    • ・$\dfrac{8}{3}$
38. 曲線きょくせん$y = \sin x$ ($0 \leq x \leq \pi$) と $x$軸で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを整数せいすうで答えこたえなさい。
39. 2 つの曲線きょくせん$y = x^2$ と $y = x$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきはどれですか？
    • ・$\dfrac{1}{3}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{1}{6}$
    • ・$1$
40. 曲線きょくせん$y = \sqrt{x}$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x = 4$ で囲かこまれた部分ぶぶんを $x$軸周まわりに 1 回転かいてんしてできる 回転体かいてんたい の体積たいせきはどれですか？
    • ・$4\pi$
    • ・$\dfrac{16\pi}{3}$
    • ・$16\pi$
    • ・$8\pi$
41. 半径はんけい$r$ の 球きゅう の体積たいせき公式こうしき$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ を積分せきぶんで導みちびく際さい、 円$x^2 + y^2 = r^2$ ($y \geq 0$) を $x$軸周まわりに回転かいてんさせた体積たいせきは $V = \pi \displaystyle\int_{-r}^{r} (r^2 - x^2) \, dx$。 この値あたいを $\pi, r$ を用もちいた既すんで約やく形かたちで答えこたえなさい (例れい: $4\pi r^3 / 3$)。
42. 曲線きょくせん$y = e^x$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x = 0$、 $x = 1$ で囲かこまれた部分ぶぶんを $x$軸周まわりに回転かいてんしてできる立体りったいの体積たいせきはどれですか？
    • ・$\pi(e - 1)$
    • ・$\pi e^2$
    • ・$\dfrac{\pi e}{2}$
    • ・$\dfrac{\pi(e^2 - 1)}{2}$
43. 曲線の長さきょくせんのながさ の公式こうしき$L = \displaystyle\int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$ を用もちいて、 直線ちょくせん$y = x$ の区間くかん$[0, 1]$ の長ながさを求もとめなさい。
    • ・$1$
    • ・$2$
    • ・$\sqrt{2}$
    • ・$\pi/2$
44. 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ の 曲線の長さきょくせんのながさ公式こうしき$L = \displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$ を用もちいて、 半径はんけい$a$ の円$x = a\cos t,\ y = a\sin t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) の周しゅうの長ながさを $a$ を用もちいて答えこたえなさい (例れい: $2\pi a$)。
45. 速度そくど$v(t) = 3t^2 - 6t$ で直線ちょくせん運動うんどうする点てん P が $t = 0$ から $t = 3$ までに進すすんだ 位置いちの変化へんか (= $\displaystyle\int v \, dt$) はいくらですか？
    • ・$-9$
    • ・$9$
    • ・$0$
    • ・$18$
46. 前ぜん問もんと同おなじ速度そくど$v(t) = 3t^2 - 6t$ で、 $t=0\to 3$ の間まの 道のりみちのり (= $\displaystyle\int |v| \, dt$) はいくらですか？
    • ・$0$
    • ・$4$
    • ・$8$
    • ・$18$
47. 区分求積法くぶんきゅうせきほう $\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\dfrac{k}{n}\right) = \displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx$ を用もちいて $\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n}$ の値あたいを求もとめなさい。
    • ・$0$
    • ・$\dfrac{1}{3}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$1$
48. 定積分ていせきぶん と 不等式ふとうしき に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・$a \leq x \leq b$ で $f(x) \geq 0$ な ら $\displaystyle\int_a^b f(x) \, dx \geq 0$
    • ・$a \leq x \leq b$ で $f(x) \geq g(x)$ な ら $\displaystyle\int_a^b f(x) \, dx \geq \displaystyle\int_a^b g(x) \, dx$
    • ・$\left|\displaystyle\int_a^b f(x) \, dx\right| \leq \displaystyle\int_a^b |f(x)| \, dx$ ($a<b$)
    • ・$\displaystyle\int_a^b f(x) \, dx = 0$ な ら 区間 内 で $f(x) \equiv 0$ で あ る
49. 複素数ふくそすう$z = 3 + 4i$ の 絶対値ぜったいち $|z|$ はいくらですか？
    • ・$5$
    • ・$3$
    • ・$4$
    • ・$7$
50. 複素数ふくそすう$z = 1 + i$ の 偏角へんかく $\arg z$ を求もとめなさい (主ぬし値$0\leq\theta<2\pi$、 $\pi$ を用もちいた既すんで約やく形かたちで例れい: $\pi/4$)。
51. ド・モアブルの定理どもあぶるのていり $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ を用もちいて $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^6$ を計算けいさんするとどれですか？
    • ・$1$
    • ・$i$
    • ・$-i$
    • ・$-1$
52. 方程式ほうていしき$z^3 = 1$ の解かい (1 の 3乗根3じょうね) は何なん個こあり、 そのうち $z \neq 1$ の解かいはどの形かたちで表あらわされますか？
    • ・3 個。 $z = 1, \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$
    • ・1 個 だ け で $z = 1$
    • ・3 個。 $z = 1, -1$ と も う 1 個
    • ・無限 個
53. 複素数ふくそすう平面へいめん上じょうで、 点$z$ を原点げんてん周まわりに $\dfrac{\pi}{2}$ (= 90°) 回転かいてんさせた点てんを $w$ とすると、 $w$ と $z$ の関係かんけいはどれですか？
    • ・$w = z + i$
    • ・$w = -z$
    • ・$w = \bar{z}$
    • ・$w = iz$
54. 複素数ふくそすう平面へいめん上じょうで、 $|z - 2| = 3$ を満みたす点$z$ の軌跡きせきは 「中心ちゅうしん$\square$、 半径はんけい$\square$ の円えん」。 中心ちゅうしん (実数じっすう a 表記ひょうき) と半径はんけいをカンマ区切くぎりで答えこたえなさい (例れい: 2,3)。
55. 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ $x = \cos t,\ y = \sin t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) が表あらわす曲線きょくせんはどれですか？
    • ・$y = x$ の 直線
    • ・原点 中心 の 楕円
    • ・放物線
    • ・原点 中心、 半径 1 の 円
56. 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ $x = 2\cos t,\ y = 3\sin t$ が表あらわす曲線きょくせんはどれですか？
    • ・$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ の 楕円だえん
    • ・$x^2 + y^2 = 1$ の 円
    • ・$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ の 楕円
    • ・$y = x^2$ の 放物線
57. 極座標きょくざひょう $(r, \theta) = (2, \pi/3)$ を 直交座標ちょっこうざひょう $(x, y)$ に変換へんかんしなさい。 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$ の公式こうしきを用もちい 「(x, y)」 の形かたち (例れい: (1, √3)) で答えこたえなさい。
58. 極方程式きょくほうていしき $r = 2\cos\theta$ が表あらわす図形ずけいはどれですか？ ($x = r\cos\theta$ を利用りようすると良よい)
    • ・原点 中心、 半径 2 の 円
    • ・中心 $(1, 0)$、 半径 1 の 円
    • ・直線 $y = 2x$
    • ・原点 を 通 る 楕円
59. 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ $x = t^2,\ y = t^3 - 3t$ で表あらわされる曲線きょくせん上じょうの点てんで、 $t = 1$ における 接線せっせん の傾きかたむき $\dfrac{dy}{dx}$ はいくらですか？
    • ・$0$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$1$
    • ・$3$
60. 2 次曲線2 じきょくせん (放物線ほうぶつせん・楕円だえん・双曲線そうきょくせん) に関かんする次つぎの記述きじゅつのうち、 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・放物線ほうぶつせん $y^2 = 4px$ ($p>0$) の 焦点しょうてん は $(p, 0)$、 準線じゅんせん は $x = -p$
    • ・楕円だえん $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) で は、 焦点 は $x$ 軸 上、 $(\pm\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$
    • ・双曲線そうきょくせん $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ の 漸近線ぜんきんせん は $y = \pm\dfrac{b}{a}x$
    • ・円 は 楕円 の 特別 な 場合 で、 $a = b$ の と き で あ る