高校こうこう数学すうがく I 実力じつりょく判定はんてい 60 問もん

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1. $(x+3)(x-3)$ を 展開てんかい し た 結果けっかとして正ただしいものはどれですか？
   • ・$x^2 + 9$
   • ・$x^2 + 6x + 9$
   • ・$x^2 - 6x + 9$
   • ・$x^2 - 9$
2. $x^2 - 5x + 6$ を 因数分解いんすうぶんかい し た 結果けっかとして正ただしいものはどれですか？
   • ・$(x-1)(x-6)$
   • ・$(x-2)(x-3)$
   • ・$(x+2)(x+3)$
   • ・$(x-2)(x+3)$
3. $x = 2 + \sqrt{3}$、 $y = 2 - \sqrt{3}$ の とき、 $x + y$ の値あたいを答えこたえなさい。
4. $x = 2 + \sqrt{3}$、 $y = 2 - \sqrt{3}$ の とき、 $xy$ の値あたいを答えこたえなさい。
5. 絶対値ぜったいち $|x|$ の 性質せいしつ と し て 正せい し い ものを全すべて選えらびなさい。 ($x, y$ は 実数じっすう)
   • ・$|x| \geq 0$ が 常 に 成 り 立 つ
   • ・$|x|^2 = x^2$ が 常 に 成 り 立 つ
   • ・$|xy| = |x| \cdot |y|$ が 常 に 成 り 立 つ
   • ・$|x + y| = |x| + |y|$ が 常 に 成 り 立 つ
6. $x + y = 5$、 $xy = 3$ の とき、 $x^2 + y^2$ の値あたいはいくらですか？
   • ・$11$
   • ・$13$
   • ・$19$
   • ・$25$
7. 集合しゅうごう$A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{3, 4, 5, 6\}$ の とき、 $A \cap B$ (共通部分きょうつうぶぶん) はどれですか？
   • ・$\{1, 2\}$
   • ・$\{3, 4\}$
   • ・$\{5, 6\}$
   • ・$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
8. 集合しゅうごう$A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 4, 5\}$ の とき、 $A \cup B$ (和集合わしゅうごう) の 要素ようそ の 個数こすう を答えこたえなさい。
9. 命題めいだい 「$x > 2$ な ら ば $x > 0$」 の 対偶たいぐう として正ただしいものはどれですか？
   • ・$x > 0$ な ら ば $x > 2$
   • ・$x \leq 2$ な ら ば $x \leq 0$
   • ・$x \leq 0$ な ら ば $x \leq 2$
   • ・$x > 2$ な ら ば $x \leq 0$
10. 「$x = 2$」 は 「$x^2 = 4$」 であるための何なにですか？
    • ・必要条件ひつようじょうけん で あ る が 十分条件じゅうぶんじょうけん で は な い
    • ・十分条件 で あ る が 必要条件 で は な い
    • ・必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん で あ る
    • ・必要条件 で も 十分条件 で も な い
11. 全体ぜんたい集合しゅうごう を $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、 $A = \{2, 4, 6, 8\}$ と す る。 $A$ の 補集合ほしゅうごう $\overline{A}$ の 要素ようそ数すうを答えこたえなさい。
12. 次つぎの命題めいだいのうち、 真ま であるものを全すべて選えらびなさい。
    • ・$x$ が 実数 な ら ば $x^2 \geq 0$
    • ・$x^2 > 0$ な ら ば $x > 0$
    • ・$xy = 0$ な ら ば $x = 0$ ま た は $y = 0$
    • ・$x + y > 0$ な ら ば $x > 0$ か つ $y > 0$
13. 不等式ふとうしき $3x - 5 > 7$ を 解と きなさい。
    • ・$x > 2$
    • ・$x > 4$
    • ・$x < 4$
    • ・$x > 12$
14. 不等式ふとうしき$-2x + 6 \geq 4$ を解ときなさい。
    • ・$x \leq -1$
    • ・$x \geq 1$
    • ・$x \geq -1$
    • ・$x \leq 1$
15. 連立れんりつ不等式ふとうしき$\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 1 \leq 5 \end{cases}$ を解といたとき、 $x$ の 範囲はんい は $a < x \leq b$ と書かけます。 $a$ と $b$ の値あたいを 「$a, b$」 の形かたちで答えこたえなさい。
16. 二に次じ不等式ふとうしき$x^2 - 5x + 6 < 0$ の 解かい として正ただしいものはどれですか？
    • ・$x < 2$ ま た は $x > 3$
    • ・$2 < x < 3$
    • ・$x < -3$ ま た は $x > -2$
    • ・解 な し
17. 二に次じ不等式ふとうしき$x^2 - 4x + 4 > 0$ の解かいとして正ただしいものはどれですか？
    • ・全 て の 実数
    • ・$x = 2$ のみ
    • ・$x \neq 2$ を 満 た す 全 て の 実数
    • ・解 な し
18. 不等式ふとうしき$|2x - 1| \leq 3$ の解かいとして正ただしいものはどれですか？
    • ・$-2 \leq x \leq 1$
    • ・$x \leq -1$ ま た は $x \geq 2$
    • ・$-1 \leq x \leq 2$
    • ・$1 \leq x \leq 2$
19. 二次関数にじかんすう $y = (x - 3)^2 + 2$ の グラフ の 頂点ちょうてん の 座標ざひょう を 「$(p, q)$」 の形かたちで答えこたえなさい。
20. 二に次じ関数かんすう$y = x^2 - 6x + 5$ を 平方完成へいほうかんせい して $y = (x - p)^2 + q$ の形かたちに直なおしたとき、 頂点ちょうてん$(p, q)$ の $p$ の値あたいを答えこたえなさい。
21. 二に次じ関数かんすう$y = x^2 - 6x + 5$ を平方へいほう完成かんせいしたときの頂点ちょうてんの $y$ 座標ざひょう (= 最小値さいしょうち) を答えこたえなさい。
22. 二に次じ関数かんすう$y = a(x - p)^2 + q$ (ただし $a \neq 0$) のグラフについて、 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・頂点 の 座標 は $(p, q)$
    • ・$a > 0$ な ら ば グラフ は 下 に 凸とつ (お椀型)
    • ・軸じく は 直線ちょくせん $x = p$
    • ・$a$ の 絶対値ぜったいち が 大 き い ほ ど グラフ の 開 き 方 は 広 く な る
23. 二に次じ関数かんすう$y = -x^2 + 4x + 1$ の 最大値さいだいち はいくらですか？
    • ・$1$
    • ・$4$
    • ・最大値 は 存在 し な い
    • ・$5$
24. 二に次じ関数かんすう$y = x^2 - 4x + 3$ の $0 \leq x \leq 3$ における最大値さいだいちと最小値さいしょうちの組くみとして正ただしいものはどれですか？
    • ・最大 $-1$、 最小 $3$
    • ・最大 $0$、 最小 $-1$
    • ・最大 $3$、 最小 $0$
    • ・最大 $3$、 最小 $-1$
25. 二次方程式にじほうていしき $x^2 - 5x + 6 = 0$ の解かいはどれですか？
    • ・$x = 1, 6$
    • ・$x = 2, 3$
    • ・$x = -2, -3$
    • ・$x = -1, 6$
26. 二に次じ方程式ほうていしき$x^2 - 2x - 1 = 0$ を 解の公式かいのこうしき で解といた解かいは $x = 1 \pm \sqrt{k}$ と表あらわせます。 $k$ の値あたいを答えこたえなさい。
27. 二に次じ方程式ほうていしき$x^2 + 3x + k = 0$ が 実数解じっすうかい をもつための $k$ の範囲はんいを求もとめなさい。 (判別式はんべつしき を使用しよう)
    • ・$k \geq \dfrac{9}{4}$
    • ・$k \leq \dfrac{9}{4}$
    • ・$k \leq -\dfrac{9}{4}$
    • ・$k \geq -\dfrac{9}{4}$
28. 二に次じ関数かんすう$y = x^2 - 4x + 3$ のグラフについて、 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・下 に 凸とつ で あ る
    • ・$x$ 軸 と は 異な る 2 点 で 交わ る
    • ・$x$ 軸 と の 交点 の $x$ 座標 は $x = 1, 3$ で あ る
    • ・頂点 の $y$ 座標 は 正 で あ る
29. 周まわ りの長ながさが $20$ cm の 長方形ちょうほうけい の面積めんせきを最大さいだいにするとき、 その最大さいだい面積めんせきは何なに cm² ですか？
    • ・$16$ cm²
    • ・$20$ cm²
    • ・$36$ cm²
    • ・$25$ cm²
30. 二に次じ方程式ほうていしき$ax^2 + bx + c = 0$ の判別はんべつ式しき$D = b^2 - 4ac$ について、 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・$D > 0$ な ら ば 異な る 2 つ の 実数解 を も つ
    • ・$D = 0$ な ら ば 重解じゅうかい (実数解 1 個) を も つ
    • ・$D < 0$ な ら ば 実数解 を も た な い
    • ・$D$ の 値 と 実数解 の 個数 に は 関 係 が な い
31. $\sin 30°$ の値あたいはどれですか？
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    • ・$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    • ・$1$
32. $\cos 60°$ の値あたいはどれですか？
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    • ・$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    • ・$1$
33. $\tan 45°$ の値あたいを答えこたえなさい。
34. 直角三角形ちょっかくさんかっけい で 斜辺しゃへん が $10$、 ある 鋭角えいかく $\theta$ の 対辺たいへん が $6$ の とき、 $\sin \theta$ の値あたいはいくらですか？
    • ・$\dfrac{4}{5}$
    • ・$\dfrac{5}{3}$
    • ・$\dfrac{5}{4}$
    • ・$\dfrac{3}{5}$
35. 鋭角えいかく$\theta$ に対たいして $\sin \theta = \dfrac{3}{5}$ のとき、 $\cos \theta$ の値あたいを分数ぶんすうで答えこたえなさい。
36. $\sin \theta = \dfrac{3}{5}$ ($\theta$ は 鋭角えいかく) の とき、 $\tan \theta$ の値あたいはどれですか？
    • ・$\dfrac{3}{4}$
    • ・$\dfrac{4}{3}$
    • ・$\dfrac{3}{5}$
    • ・$\dfrac{5}{3}$
37. $\sin 120°$ の値あたいはどれですか？
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$-\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    • ・$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
38. $\cos 135°$ の値あたいはどれですか？
    • ・$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    • ・$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$-\dfrac{1}{2}$
39. $\tan 150°$ の値あたいを答えこたえなさい。 (分数ぶんすうまたは 有理化ゆうりか した形かたちで)
40. $0° \leq \theta \leq 180°$ で $\sin \theta = \dfrac{1}{2}$ を満みたす $\theta$ はどれですか？
    • ・$30°$ と $150°$
    • ・$30°$ のみ
    • ・$150°$ のみ
    • ・$60°$ と $120°$
41. $0° \leq \theta \leq 180°$ で $\cos \theta = -\dfrac{1}{2}$ を満みたす $\theta$ はどれですか？
    • ・$60°$
    • ・$150°$
    • ・$60°$ と $120°$
    • ・$120°$
42. $0° \leq \theta \leq 180°$ における三角さんかく比ひの 符号ふごう について、 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・$\sin \theta$ は 常 に $0$ 以上
    • ・$\cos \theta$ は 鋭角 で 正、 鈍角 で 負
    • ・$\tan \theta$ は $\theta = 90°$ で 定義ていぎ さ れ な い
    • ・$\sin \theta$ は 鈍角 で 必 ず 負
43. 正弦定理せいげんていり として正ただしい式しきはどれですか？ ($a, b, c$ は 三角形さんかくけい の 辺へん、 $A, B, C$ は その 対たい角かく、 $R$ は 外接円がいせつえん の 半径はんけい)
    • ・$\dfrac{a}{\cos A} = \dfrac{b}{\cos B} = \dfrac{c}{\cos C} = R$
    • ・$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
    • ・$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
    • ・$a \sin A = b \sin B = c \sin C$
44. 余弦定理よげんていり として正ただしい式しきはどれですか？
    • ・$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
    • ・$a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$
    • ・$a^2 = b^2 - c^2 - 2bc \sin A$
    • ・$a = b + c - 2bc \cos A$
45. $\triangle ABC$ で $a = 4$、 $b = 5$、 $C = 60°$ のとき、 余弦よげん定理ていりを用もちいて辺へん$c$ を求もとめなさい。 (整数せいすう or 平方根へいほうこん の形かたちで)
46. $\triangle ABC$ で $a = 6$、 $A = 30°$ の とき、 外接円がいせつえん の 半径はんけい$R$ を求もとめなさい。
    • ・$3$
    • ・$6$
    • ・$\sqrt{3}$
    • ・$12$
47. $\triangle ABC$ で $b = 6$、 $c = 8$、 $A = 30°$ の とき の 面積めんせき$S$ を 整数せいすうで答えこたえなさい。
48. 3 辺へんの長ながさが $a = 5$、 $b = 6$、 $c = 7$ である三角形さんかくけいで、 余弦よげん定理ていりを用もちいて $\cos A$ の値あたいを求もとめなさい。
    • ・$\dfrac{1}{7}$
    • ・$\dfrac{1}{5}$
    • ・$\dfrac{6}{7}$
    • ・$\dfrac{5}{7}$
49. 5 つ の 値あたい$2, 4, 6, 8, 10$ の 平均値へいきんち を答えこたえなさい。
50. 7 つ の 値あたい$1, 3, 3, 5, 7, 8, 10$ の 中央値ちゅうおうち (メジアン) はどれですか？
    • ・$5$
    • ・$3$
    • ・$5.3$
    • ・$7$
51. 5 つ の 値あたい$2, 4, 6, 8, 10$ の 分散ぶんさん $s^2$ を答えこたえなさい。 (平均へいきん は $6$)
52. 5 つ の 値あたい$2, 4, 6, 8, 10$ の 標準偏差ひょうじゅんへんさ $s$ はいくらですか？ (分散ぶんさん$s^2 = 8$)
    • ・$2$
    • ・$4$
    • ・$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
    • ・$8$
53. $10$個のデータを小ちいさい順じゅんに 並なら べたとき、 第1四分位数だいいちしぶんいすう $Q_1$ はデータ全体ぜんたいの何なに % の位置いちにありますか？
    • ・下 か ら 10%
    • ・下 か ら 50%
    • ・下 か ら 25%
    • ・下 か ら 75%
54. 箱はこ ひげ図ひげず (boxplot) について、 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・箱はこ の 中 の 線 は 中央値 ($Q_2$) を 表 す
    • ・箱 の 左端 は $Q_1$、 右端 は $Q_3$ を 表 す
    • ・箱 の 長 さ は 四分位範囲しぶんいはんい (IQR) を 表 す
    • ・箱 の 左端 は 必 ず 平均値 を 表 す
55. 2 つの変量へんりょう$x, y$ の 相関係数そうかんけいすう $r$ が取とりうる値あたいの範囲はんいはどれですか？
    • ・$0 \leq r \leq 1$
    • ・$-1 \leq r \leq 0$
    • ・$-1 \leq r \leq 1$
    • ・全 て の 実数
56. 散布図さんぷず と 相関そうかん について、 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・点 が 右上 が り に 直線ちょくせん 状 に 並 ぶ ほ ど 正 の 相関 が 強 い
    • ・点 が 右下 が り に 並 ぶ ほ ど 負 の 相関 が 強 い
    • ・点 が 全体 に 散ち ら ば り 傾向けいこう が 見 え な い と き は 無相関 に 近 い
    • ・$r > 0$ で あ れ ば 必 ず 強 い 正 の 相関 と 言 え る
57. 共分散きょうぶんさん $s_{xy}$、 $x$ の標準ひょうじゅん偏差へんい$s_x$、 $y$ の標準ひょうじゅん偏差へんい$s_y$ を用もちいて相関そうかん係数けいすう$r$ を表あらわす式しきを答えこたえなさい。 (記号きごうで OK)
58. ある 2 変量へんりょうデータで $s_{xy} = -6$、 $s_x = 2$、 $s_y = 5$ であるとき、 相関そうかん係数けいすう$r$ の値あたいを小数しょうすうで答えこたえなさい。
59. 「2 変量へんりょうの相関そうかん係数けいすうが $r = 0$ に近ちかい」 ことから 正ただしく結論けつろんできる ことはどれですか？
    • ・直線ちょくせん 的 な 関係 が 弱 い (ま た は な い)
    • ・2 変量 は 完全 に 独立どくりつ で あ る
    • ・2 変量 の 間 に 因果関係 が な い
    • ・片方 を 増ふ や せ ば 必 ず もう 片方 が 減へ る
60. 仮説検定かせつけんてい の考えかんがえ (数すう I レベル) について、 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・「偶然ぐうぜん で は 起 こ り に く い 結果」 と 判断 し た 時 に 仮説かせつ を 棄却ききゃく す る
    • ・基準きじゅん と な る 確率かくりつ (有意水準ゆういすいじゅん) を あ ら か じ め 決 め て お く
    • ・コインこいん 投な げ で 表 が 連続 10 回 出 た ら 「公平こうへい な コイン」 仮説 を 疑うたが う 根拠こんきょ に な る
    • ・仮説 検定 で 「棄却ききゃく さ れ な か っ た」 = 「仮説 が 正 し い と 証明しょうめい さ れ た」 と 結論 で き る