曲線の長さきょくせんのながさ

曲線きょくせんの長ながさ（弧こ長ちょう）は、微小びしょう区間くかんにピタゴラスの定理ていりを当あてはめて積分せきぶんしたものです。

表あらわし方かた	弧こ長ちょうの公式こうしき
$y=f\left(x\right)$	$L=\int ab\sqrt{1+\left\{f^{\prime }\right(x){\}}^2}\hspace{0.17em}dx$
媒介ばいかい変数へんすう$\left(x\right(t),y(t\left)\right)$	$L=\int \alpha \beta \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}\hspace{0.17em}dt$

たとえば微小びしょうな長ながさ $dL$ は、横$dx$・縦$dy$ の直角ちょっかく三角形さんかっけいの斜辺しゃへん$\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ と考かんがえられます。

試験しけんでは $\sqrt{ }$ の中なかがきれいな平方へいほうの形かたちになるよう、計算けいさんしやすい関数かんすう（サイクロイドなど）が出題しゅつだいされる。$\sqrt{1+\left\{f^{\prime }\right(x){\}}^2}$ の根号こんごうがはずれるかどうかが計算けいさん量りょうを左右さゆうする。